Regla de Simpson, Python.

La regla de Simpson es una técnica de integración numérica que permite encontrar la solución de una integral definida apoyándose en la interpretación geométrica de la integral con el fin de encontrar su valor numérico, el cual será aproximado.                                                          Es decir encontrar

Base geométrica de la regla.

Utilizando la aplicación de la integral de área bajo la curva, la regla de Simpson propone crear una curva de grado dos o tres a partir de tres puntos dados, definidos en la función, los cuales hacen referencia a   f(a), f(b) y f((a+b)/2). Este ultimo indica el punto medio entre los primeros dos puntos.

El objetivo de crear una nueva curva con grados mayores a uno es que esta misma sea mas próxima a la curva de la función f(x).

Para la creación de la nueva curva Simpson utilizó el método de interpolación, el cual consiste en encontrar una función que se ajuste a una serie de puntos en un plano, estos puntos pueden representar fenómenos, mediciones, estadísticas, etc.

Una vez definida la parábola se procede a calcular el área bajo de ella por el método tradicional. En otras palabras  integrar del polinomio aproximado a la función.

Fórmula de Simpson:

En una forma general la formula proviene de la integración de una función ax² + bx + c, evaluada de -h a h. Como se muestra en la siguiente figura. Por fines pragmáticos, no entraremos en detalles de la demostración de la fórmula. 

Para aumentar la precisión y disminuir el error que se forma entre la función f(x) y la parábola, imaginemos que podemos dividir la sección a evaluar en n partes y que la suma de ellas representara un área mas próxima como mayor sea el número de partes, la medida de estas partes puede ser propuesta o calculada con la formula de ((a-b)/n) donde n también es un número propuesto. Recordando que todas las partes son iguales.

La parte en amarillo representa el area a calcular. De la parte azul que muestra el error , se puede decir que este es un tanto compensatorio.

Division del area a evaluar en partes.  Cada parte esta definida por x0 y x1, donde la distancia entre ellos es dx, ademas cada una cuenta con su propio punto medio.

De esta forma, podemos concluir que se debe utilizar la formula de Simpson en cada sección. Por ello  necesitaremos crear una sumatoria, para que así todas las áreas sean sumadas. Importante considerar la existencia de áreas negativas y con ello la utilización del valor absoluto, para el área de cada parte.

Pensando en Python

Ideas previas:

• Integrar el área de una sección.
• Hacer el calculo de area genérico, es decir que se pueda cumplir para cada parte.
• Sumar las areas.
• No olvidar areas negativas.

Área de una sección 

Analizando la grafica que pretende calcular el area 1, la sustitución en la formula de Simpson quedaria de la siguiente manera:

La sustitución se obtuvo de considerar como los limites a x0 y x1, donde dx representa la distancia entre ellos, ademas el punto medio es calculado a partir de restarle dx/2 a x1. 

Calculo genérico

Una vez que tenemos claro como calcular una área, para terminar con la integral es necesario hacer la suma de todas las áreas. Para ello se tienen las consideraciones anteriores. Por lo tanto si pensamos en Python nos damos cuenta que es necesario el uso de un ciclo, donde la variable de iteración será el limite superior que valla tomando y el cual inicia en a+dx y termina en b. Esto es porque dejaremos todo en función del limite superior. 

El ciclo en Python quedaría de la siguiente forma:

No te olvides de declarar la variable suma previo al incio del ciclo.

"abs" significa valor absoluto.